Cálculo – V1

8 avaliações para Cálculo – V1

1. 

   Fernando Cesar – 2 de novembro de 2025

   Excepcionalíssimo!
   Os autores abordam cada conteúdo de modo gradualmente construtivo, ou seja, intercalando-se um pouco de teoria e um pouco de exercícios. Além disso, há também questões discursivas para verificar se o estudante realmente compreendeu o conceito. Afinal de contas, a fórmula matemática está ao alcance de qualquer um, entretanto, não é qualquer um que sabe transmitir isso usando palavras. Já dizia minha professora de Química Geral Teórica: “Se você não sabe explicar um assunto para alguém, é porque você ainda não entendeu (domina) esse assunto”.Lembro-me de ter comprado meus dois volumes do Stewart (recomendação do professor), mas não indico para ninguém que esteja começando a ter os primeiros contatos com a disciplina de Cálculo. Basicamente, tais livros carregam uma linguagem matemática rigorosamente impecável, entretanto, têm uma linguagem didática horrível (compreensão não facilitada), vide a organização confusa dos tópicos dentro de cada capítulo, extremamente fácil de se perder ou absurdamente difícil de achar aquele trecho que parece ter desaparecido no capítulo, algo que demanda mais tempo procurando e menos paciência estudando.Dica master: antes de comprarem quaisquer livros, busquem amostras desse livro antes de realizarem a compra, pois a linguagem pode não agradar quem compra, e acabar ficando encostado. Infelizmente, não tive tal postura reflexiva antes de aceitar cegamente a sugestão do professor. Logo, experimentem antes de comprar para não se arrependerem.

2. 

   Antonio Wellington Neves Sousa – 2 de novembro de 2025

   Livro excelente para quem quer aprender cálculo, didática muito boa.
   Gostei da forma como o livro veio embalado, não tem marcas.Recomendo este livro para iniciantes no cálculo e para veteranos também, pois o livro tem uma didática muito boa, o autor desenvolve os conteúdos muito bem, utiliza muitos recursos computacionais para facilitar o compreensão do conteúdo.

3. 

   Albanir França – 2 de novembro de 2025

   A versão Cálculo Novo Horizonte ainda é a melhor
   Cálculo – Uma epopeia do intelectoA “invenção” do Cálculo é, geralmente, atribuída a Newton e a Leibniz. No entanto, o surgimento do Cálculo como conhecemos hoje foi resultado da evolução de uma ideia que remonta desde os antigos gregos que a usavam para encontrar valores de áreas e volumes de figuras e sólidos de formatos não triangulares ou retangulares (círculo e esfera, p.e.).A palavra cálculo é o diminutivo de calx, que em latim significa pedra. Atualmente o Cálculo é uma abreviação de Cálculo Diferencial e Integral.A palavra Derivada veio da expressão Fonction Dérivée da obra Théorie des fonctions analytiques (Teoria das Funções Analíticas) de Joseph Louis Lagrange, publicada em 1797.Na verdade, o Cálculo é uma engenhosa criação do intelecto humano que não é exatamente um novo ramo da Matemática. É sim um novo método de lidar com as ideias de infinito, função e o conceito de variação aplicada à Álgebra, à Geometria e à Trigonometria por meio da (ferramenta) Geometria Analítica.A grande dificuldade no aprendizado das ideias do Cálculo reside na forma equivocada como os seus conceitos são definidos e ensinados em livros didáticos e em sala de aula.A função é o objeto de estudo do Cálculo, assim como o patrimônio é o objeto de estudo da Contabilidade. No entanto, há um problema no ensino sobre o que é e o que significa uma função. Existe uma dificuldade de entendimento da definição atual de função porque ela é definida em termos de pares ordenados da teoria (formal) dos conjuntos. Este conceito evoluiu desde a antiguidade e só mereceu atenção rigorosa no campo da análise matemática que fundamenta o Cálculo no alvorecer da era moderna. Euler definia uma função como expressão analítica. Então, qual é a diferença de uma expressão algébrica tipo y = 2x + 10 para a notação atual de função f(x) = 2x + 10? Bem, é similar à comparação entre substantivo e verbo, entre estática e dinâmica, por exemplo. A função dinamiza uma variação, um gráfico em movimento. Você não pode visualizar a função como uma fórmula algébrica com algum “x” inteiro (ou racional, por exemplo) que dá uma solução à equação.A definição formal e abstrata de função foi adotada no ensino moderno e nos livros apenas no século XX após a consolidação da Teoria dos Conjuntos (de George Cantor) e da aritmetização da análise matemática divulgada pelo grupo de matemáticos franceses de pseudônimo Nicolas Bourbaki (1939). Estes por sua vez se basearam na descrição de Dirichlet (1837). Mas a palavra função surgiu pela primeira vez – em 1673 – em um manuscrito de Leibniz intitulado O método inverso das tangentes, ou sobre funções (Methodus tangentium inversa, seu de functionibus).Outra grande confusão é definir o conceito de derivada com a interpretação da reta tangente a uma curva usando o conceito do quociente (razão/taxa) da variação de uma reta secante deslizante associada com o conceito de limite sem exatamente dar uma explicação inteligível da relação entre o valor do coeficiente angular (tangente) com o valor da derivada.Por que usar uma reta tangente a uma curva? E por que é difícil entender o que é uma reta tangente em um único ponto em uma determinada curva? Ora, quem vê a reta desenhada tangendo a curva observa que ela não toca somente um ponto. Não faz sentido e não é convincente (Descartes conseguiu um modo engenhoso de explicar essa tangente. Explico mais a frente). E o que é exatamente um ponto? E a linha e a linha reta? As definições descritas no livro Os Elementos (página 97 do livro traduzido por Irineu Bicudo) responde:Ponto é aquilo de que nada é parte;E linha é comprimento sem largura;E linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.Deu para entender estas três definições?A definição da linha reta pode ser traduzida como uma disposição uniforme e unidimensional de pontos.Para se compreender essas definições é necessário entender o conceito de abstração.Num sentido mais geral, abstração [do latim tardio abstractione] é um processo mental de se obter ou extrair uma ou mais partes de uma totalidade complexa, seja ela elemento da realidade ou da própria imaginação.Assim, a partir da abstração é criado um modelo mental no qual se pode manipulá-lo ou transformá-lo independentemente da realidade, ou de parte dela, que ele representa.No sentido matemático, abstração é uma representação simbólica ou figurativa de um modelo mental criado a partir de uma realidade ou de um elemento constituinte da realidade do qual se extrai apenas determinadas propriedades ou características relevantes.Então, estes entes geométricos são abstrações de formas de objetos (elementos ou coisas) concretos (reais) que a mente humana criou para obter uma percepção de parte do mundo que nos cerca.Portanto, se eles são abstrações da mente humana: o ponto e a reta não têm medida finita, ou seja, são intrinsecamente por definição imensuráveis, adimensionais: ponto sem tamanho e reta sem largura. Claro que podemos definir uma medida finita a uma reta qualquer através de uma associação com um valor escalar. Esse é o comprimento.Por isso não faz sentido ao visualizarmos um gráfico de uma curva com uma reta tangente afirmando que ela “toca” a curva em um único ponto. O que visualizamos na verdade é que essa tangente toca vários pontos.Afinal, o que é esse ponto que os professores e autores de livros de Cálculo afirmam que toca a curva em um único ponto da curva utilizado para definir a derivada e seu valor atrelado ao conceito de limite? Isso acaba causando uma confusão cognitiva nos discentes ao primeiro contato com a definição de derivada.Existe um modo mais engenhoso de explicar esse ponto único da reta tangente a uma curva?Sim, existe. Ele foi imaginado por Descartes nos seus momentos de devaneios iniciais na gênese da Geometria Analítica. A grande ideia dessa nova ferramenta que ela passou a considerar um ponto como uma coordenada no sistema cartesiano que usamos hoje (cartesiano veio do nome latinizado do nome francês René Descartes: Renatus Cartesius. Use o Google tradutor para conferir, afinal o latim era a língua científica da época dele e de Newton)Descartes imaginou um círculo cujo raio é interceptado por uma reta perpendicular ele (formando 90 graus, lembra?). Essa interceptação pode se dar em um ponto (reta coincidente, ou sobreposta, com a linha da circunferência) ou em dois pontos (reta não coincidente que corta a circunferência em dois semiarcos). Vamos agora emprestar a ideia dele, não o método, e vamos denominar esse ponto coincidente de ponto de referência. Agora usando um gráfico cartesiano da função quadrática f(x) = x2 + 5 ou f(x) = – x2 + 5 (forma uma parábola) e vamos imaginar que existe um círculo qualquer C cuja circunferência percorra todo o gráfico (por dentro ou por fora, tanto faz) de modo que a linha desta coincida com a linha da curva da parábola (pense numa roda em movimento de skate quando um skatista desce na rampa em formato U) e que exista uma reta perpendicular ao raio interceptando-o no ponto de referência e que sempre acompanha o movimento do círculo (ou da roda do skate). Então, o raio do círculo (ou da roda do skate) sempre será perpendicular a esta reta que acompanha o movimento dele. O raio e a reta são perpendiculares em si. Por conseguinte, esta reta perpendicular ao raio é a reta tangente à curva do gráfico. Essa nova denominação de ponto de referência tem uma recepção cognitiva mais intuitiva. Ou seja, o que se movimenta na curva é esse ponto de referência que pertence também à reta perpendicular ao raio da circunferência que acompanha o movimento desse ponto.Mas, o que tem a ver essa tal reta tangente com uma curva?Bem, imagine um gráfico de uma parábola (gerada por uma função quadrática) ou de uma onda senoidal (gerada por uma função de arco seno). Como podemos saber se a curva está em algum estágio crescente ou decrescente, ou até mesmo em um estágio máximo (crista da curva) ou em um estágio mínimo?Se traçarmos algumas retas tangentes em alguns pontos de referência de uma curva que “acompanham” a subida e a descida da curva, o sinal do coeficiente angular dessa reta nos informará sobre esses movimentos da curva: se é ascendente ou se é descendente. Ou seja, a reta nos informará se a curva está em estágio crescente – coeficiente angular positivo – ou em estágio decrescente – coeficiente angular negativo. No caso da crista da curva, o coeficiente admite valor zero (não há variação nesse ponto de crescimento ou de decrescimento). Não confundir coeficiente angular (ou declividade) com a inclinação da reta. Inclinação é a medida angular da reta em relação a um eixo de referência. Coeficiente angular é o valor calculado a partir da tangente da inclinação da reta.A função nos permite modelar a variação entre grandezas, como por exemplo a aceleração de um foguete ou de um meteoro, a taxa de crescimento populacional de uma amostra de bactérias, a taxa de decaimento radioativo. E dá para calcular essa taxa (ou razão) de crescimento ou decrescimento usando somente a matemática sem o Cálculo? Não, pois as funções formam gráficos e modelam taxas de variação entre grandezas de que podem ser de forma não linear (não é constante). Na natureza, e no universo, praticamente não existem variações lineares. Então como medimos (calculamos) essa variação ponto a ponto? Ou como dizem os físicos, a variação instantânea? Ora, calculando a taxa de variação da função que modela o fenômeno.O pensamento da variação instantânea é outra ideia que é difícil entrar na cabeça dos alunos. Agora imagine ao seguinte: nos filmes de película (não digital) exibido nos cinemas antigos os movimentos de um personagem advém da taxa de 24 fotografias por segundo. Então, a variação instantânea nesse caso teria como resultado uma fotografia, embora o conceito de variação seria o passo de uma fotografia para a fotografia seguinte. Mas como não existe o movimento desse passo, pois as fotografias são estáticas e existem individualmente, obtém-se somente a fotografia captada num determinado tempo do movimento (1/24 de segundo). É apenas a interpretação do cérebro humano que projeta o movimento das fotografias passadas sequencialmente num determinado ritmo captável ao olho humano. Nesse exemplo fica fácil de entender como obter o resultado da velocidade instantânea do filme de projeção de película, pois as películas são o que os matemáticos denominam de grandezas discretas, ou seja, o filme é formado por fotografias bem identificadas univocamente, é finita em si, não se divide em infinitas imagens. É aí que o “bicho pega”, pois na natureza e no universo tudo é movimento, é variação com grandezas que se dividem ao infinito, ou seja, são contínuas, não discretas. Aí que surge a ideia do uso de função para modelar matematicamente os fenômenos naturais ou até artificiais (lembra do foguete?).A função modela movimento, variação, dinamicidade. A função produz gráficos cartesianos. Gráficos cuja taxa de variação pontual (do ponto de referência) pode ser calculada utilizando o conceito de derivada. A derivada nos informa a taxa ou razão de variação da função num determinado momento ou num determinado ponto (na verdade, de um ponto para outro). Esse ponto percorre o gráfico e pertence também à reta tangente à curva desse gráfico. Bem, agora que já entendemos o que significa que é uma reta tangente a uma curva, podemos raciocinar como calcular a variação pontual (ou instantânea, segundo os físicos) num determinado momento de variação de um ponto para outro no gráfico. Mas como vamos calcular a variação num ponto da curva se só identificamos somente este ponto tangente, e este sendo estático, não tem variação? Aí é que vem o “pulo do gato”. Como estamos lidando com grandezas contínuas que variam do infinitamente pequeno ao infinitamente grande, podemos usar esse ponto de referência e o ponto seguinte com valor próximo ao infimamente pequeno. Não temos ideia de quão pequeno seja esse segundo ponto em relação ao primeiro. Leibniz os chamava de infinitesimais. O problema de se utilizar o conceito de infinitesimais é que eles são apenas uma ideia, uma abstração sem definição de forma. Daí veio a ideia de limite que possui definição formal (Cauchy criou a ideia de limite e Weierstrass o definiu formalmente com os seus épsilons e deltas). Se a derivada determina a taxa ou razão de duas grandezas próxima ao infinitamente pequeno e o conceito de limite chega tão próximo ao infinito, mas nunca chegar nele, então podemos calculá-la utilizando este conceito. É o chamado valor limite ou limite da função.Um exemplo de valor limite 1 é o somatório infinito 0,9 = 0,09 + 0,009 + 0,0009 + … Ou seja, o limite de 0,999… (com reticências que define infinitude) é 1 (utilize a forma algébrica que você provar isso ou use a fórmula da PG infinita S = a1 / (1 – r)).Então, é por isso que os livros didáticos e professores adotam a expressão de limite para definir (e calcular) a derivada de um ponto num gráfico cartesiano utilizando o artifício da reta secante que se movimenta até que ela se torne tangente à curva tocando-o apenas num ponto. Este artifício de movimentar uma reta secante que intercepta a curva em mais de um ponto em direção ao nosso ponto de referência (que é ponto da verdadeira tangente, lembram?) permite que ele chegue tão infinitamente próximo quanto possível (até o valor limite) de tal forma que se possibilite calcular a diferença entre os dois pontos e de tal forma que se permita calcular a variação entre eles. Se eles coincidissem, o ponto da tangente e o ponto da secante, não haveria variação. E adivinhem…, o cálculo da taxa de variação é o mesmo cálculo para se determinar o coeficiente angular (declividade) da reta tangente. Daí a confusão cognitiva que os alunos têm de relacionar o valor da tangente com o valor da derivada. Confundem a interpretação geométrica (deveria ser algébrica-geométrica) com o uso gráfico cartesiano da função.O uso da ideia de limite foi genial. Enquanto, o uso do conceito de infinitésimos fazia-se necessário desprezar valores no cálculo final da fórmula da taxa ou razão da variação. O uso da ideia de limite, o desprezo dá lugar ao valor limite que é o valor máximo “inalcançável”.Daí o uso atual da fórmula da taxa ou razão de variação entre dois valores de uma função que utiliza o conceito de limite:Derivada de uma função f(x) = limite [f(x) – f(x0)] / [x – x0] quando x – x0 tende um a valor infimamente pequeno.Ou na notação mais usual que utiliza a letra “h” que simplifica a fórmula. Este passa a ser o acréscimo de valor infinitamente pequeno. Então, a derivada de uma função f(x) = limite [f(x + h) – f(x)] / h quando h tende um a valor infimamente pequeno.A ideia do infinito, seja ele infinitamente pequeno ou infinitamente grande, não cabe na mente humana. Talvez porque somos seres finitos; não vivemos para sempre. Não faz sentido para nós não encontrarmos um início e um fim.É dessa ideia de infinito que o grego Zenão criou seus famosos paradoxos (Aquiles e a tartaruga, p.e.) e Eudoxo criou o seu método da Exaustão que foi utilizado por Arquimedes para calcular áreas e volumes de figuras.Depois dos gregos é que surgiu o termo infinitesimal para designar um valor infinitamente pequeno. Galileu e Cavalieri o utilizaram para dar base a formulação de suas teorias físicas e matemáticas.O conceito de infinito foi relacionado com o de limite e este, por sua vez, foi idealizado e formalizado por Cauchy e Karl Weierstrass.Bibliografia básica:Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Cálculo – Carl Benjamin Boyer (Atual editora, 1992). História da matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas (Tatiana Roque). Em busca do infinito: Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos (Ian Stewart). O mais recentemente lançado pela Sextante 2022: O Poder do Infinito: Como o Cálculo revela os segredos do universo (Steven Strogatz). “e” – A história de um número (Eli Maor). A Janela de Euclides: A História da Geometria, das Linhas Paralelas ao Hiperespaço (Leonard Mlodinow). Filosofia da Matemática (são dois livros de dois autores, respectivamente: Stewart Shapiro e Jairo José da Silva). Introdução à Filosofia Matemática (Bertrand Russel). Conceitos Fundamentais da Matemática (Bento de Jesus Caraça). Funções (Heliana Cioccia Campiteli – editora UEPG). A Geometria de René Descartes (Raquel Anna Sapunaru – editora Livraria da Física – LF, 2a Edição). Gênios da Ciência: A Vanguarda da Matemática e As Diferentes Faces do Infinito (2 revistas Scientific American). Matemática para todos (Revista Cálculo com mais de 40 edições). Curso de História da Matemática: Origens e Desenvolvimento do Cálculo – 5 volumes (Margareth E. Baron), editora UNB, 1985. Cálculo e Aplicações, LTC 1999 (Déborah Hughes-Hallett). Cálculo Vol I e II, LTC 1997 (Déborah Hughes-Hallett). Cálculo Vol I (Ron Larson). Um livro mais específico sobre números e operações: História Universal dos Algarismos – Georges Ifrah (2 volumes).

4. 

   Dhiego Morais – 2 de novembro de 2025

   Vale a pena!
   Comprei para reforçar os estudos de Cálculo na Licenciatura e me surpreendi com a qualidade do livro. Leitura tranquila, mas sem deixar de lado o rigor matematico. Achei a didática do Anton mais compreensível que do Guidorizzi.Alguns pontos que podem ser relevantes:- Sobre o material/impressão: boa qualidade, capa cartão reforçada, gramatura do miolo fina (não atrapalha a leitura), texto majoritariamente em preto, branco e azul/ciano.Adquiri os 2 volumes e estou satisfeito!

5. 

   Renato – 2 de novembro de 2025

   Lel
   Shosh de bolob

6. 

   Vitória – 2 de novembro de 2025

   Ótimo estado
   A capa tem algumas marcas de uso quase imperceptíveis, mas as páginas estão como novas.

7. 

   Sidnei – 2 de novembro de 2025

   Apresentação excelente. Escolhi por indicação.
   Abrange o conteúdo da minha formação e mais um pouco. Escolhi os volumes I e II por indicação entre os melhores na atualidade, pois é um conteúdo que já estudei na década de 80, com Leithold, Geraldo Ávila, coleção shauwm.

8. 

   Adson Verçoza dos Santos – 2 de novembro de 2025

   Rapidez na Entrega
   Entrega extremamente eficiente, chegou em 2 dias sendo que estava previsto para 11 dias. Livro novo e bem embalado, recomendo.